\section{线性方程组有解判别定理}

\begin{frame}{线性方程组有解判别定理}

\S1 中我们用消元法解线性方程组，并讨论了解的情况。
用消元法解线性方程组的第一步就是用初等行变换把增广矩阵化成阶梯形。 
从此阶梯形出发分析得到的解的存在性与唯一性也可以用秩的语言来描述。
\pause
\begin{theorem}
  线性方程组有解当且仅当其系数矩阵的秩等于其增广矩阵的秩。
  有解时自由未知量的个数为系数矩阵的列数（亦即未知量的个数）减去系数矩阵的秩，
  解唯一当且仅当系数矩阵的秩等于系数矩阵的列数（亦即未知量的个数）。
  \label{194}
\end{theorem}
\pause
\begin{proof}
  设线性方程组的增广矩阵$\begin{pmatrix}
    A & \beta
  \end{pmatrix}$行化简至既约的阶梯形为$\begin{pmatrix}
    A' & \beta'
  \end{pmatrix}$, 且$A$为$s\times n$矩阵。 
  $A'$的非零行的个数正是$A'$的秩$\rank A'$.
 显然， 定理~\ref{18D}~中描述的有解的判定和解的唯一性判定用秩的语言描述就是：有解当且仅当
  \(
    \rank A' =\rank \begin{pmatrix}
      A' & \beta'
    \end{pmatrix};
  \)
  有解时自由未知量的个数为$n-\rank A'$, 解唯一相当于
    $\rank A'=n.$
  又行化简不改变秩，因此
  \[
    \rank A'=\rank A, \rank \begin{pmatrix}
    A' & \beta'
  \end{pmatrix}=\rank \begin{pmatrix}
    A & \beta
  \end{pmatrix}. 
\]
故有解当且仅当
  \[
    \rank A =\rank \begin{pmatrix}
      A & \beta
    \end{pmatrix};
  \]
  有解时自由未知量的个数为$n-\rank A$, 解唯一相当于
    $\rank A=n.$
\end{proof}
\end{frame}


\begin{frame}{小结}

  \begin{enumerate}
    \item 用秩的语言来描述线性方程组解的情况的判定。
  \end{enumerate}
  
\end{frame}
